FRACTALES

FRACTALES

Un conjunto u objeto es considerado fractal cuando su tamaño se hace arbitrariamente mayor a medida que la escala del instrumento de medida disminuye. 

Hay muchos objetos ordinarios que, debido a su estructura o comportamiento, son considerados fractales naturales, aunque no los reconozcamos. Las nubes, las montañas, las costas, los árboles y los ríos son fractales naturales aunque finitos ergo no ideales; no así como los fractales matemáticos que gozan de infinidad y son ideales.

Modelos infinitos comprimidos de alguna manera en un espacio finito Bellísimos y fascinantes diseños de estructura y complejidad infinita.

Propiedades de los fractales:

Dimensión no entera.

Como se mostrará en el apartado siguiente la dimensión de un fractal no es un número entero sino un número generalmente irracional.

Compleja estructura a cualquier escala.

Los fractales muestran estructuras muy complejas independientemente de la escala a la cual lo observemos.

Infinitud.

Se consideran infinitos ya que a medida que aumentamos la precisión del instrumento de medición observamos que el fractal aumenta en longitud o perímetro.

Autosimilitud en algunos casos.

Existen fractales plenamente autosimilares de manera que el todo está formado por pequeños fragmentos parecidos al todo.

Normalmente un fractal se construye mediante una fórmula o función que se va iterando un número arbitrario de veces. Aunque otra forma de lograrlo es mediante la aplicación de técnicas de recursividad. Con estos dos métodos es como solemos conseguir la autosimilitud de los fractales, ya que aplicamos la misma función a diferentes niveles.

Tan importante es la elección de la formula como la elección del método de coloreado de los resultados. En relación a esto, existen multitud de técnicas de coloreado como pueden ser:

Coloreado mediante el algoritmo de tiempo de escape.

Coloreado por convergencia a soluciones de una ecuación.

Cualquier otro que puedas imaginar.

Fractal de Newton

El fractal de Newton es una curiosa creación basado en la aplicación del método de Newton para la resolución de sistemas de ecuaciones no lineales. El algoritmo es eficiente para encontrar aproximaciones de los ceros o raíces de una función real. También puede ser usado para encontrar el máximo o mínimo de una función, encontrando los ceros de su primera derivada.

La idea de este método es la siguiente: se comienza con un valor razonablemente cercano al cero (denominado punto de arranque), entonces se reemplaza la función que estamos tratando por la recta tangente en ese valor, se iguala a cero y se despeja (fácilmente, por ser una ecuación lineal). Este cero será, generalmente, una aproximación mejor a la raíz de la función. Luego, se aplican tantas iteraciones como se deseen hasta que el método de una solución adecuada. Cabe destacar que es posible que el método diverja en determinadas circunstancias que pueden depender de la elección del punto inicial.

Además es responsabilidad nuestra la elección de un buen test de parada, aunque dicho test podría basarse simplemente en el número de iteraciones realizadas. Partiendo de este método, y dado que es capaz de aproximarse tanto a soluciones reales como a complejas, podríamos ingeniárnoslas para que dada una función se coloreasen de forma distinta las soluciones a las que el algoritmo va convergiendo. En pocas palabras: seleccionamos una región del plano complejo y vamos ejecutando el método de Newton, para una función F dada, en un punto elegido de la región. Dependiendo de a qué solución converja el método pintamos ese punto de un color u otro.