EJERCICIO 1

FRACTALES

FRACTALES

Un conjunto u objeto es considerado fractal cuando su tamaño se hace arbitrariamente mayor a medida que la escala del instrumento de medida disminuye. 

Hay muchos objetos ordinarios que, debido a su estructura o comportamiento, son considerados fractales naturales, aunque no los reconozcamos. Las nubes, las montañas, las costas, los árboles y los ríos son fractales naturales aunque finitos ergo no ideales; no así como los fractales matemáticos que gozan de infinidad y son ideales.

Modelos infinitos comprimidos de alguna manera en un espacio finito Bellísimos y fascinantes diseños de estructura y complejidad infinita.

Propiedades de los fractales:

Dimensión no entera.

Como se mostrará en el apartado siguiente la dimensión de un fractal no es un número entero sino un número generalmente irracional.

Compleja estructura a cualquier escala.

Los fractales muestran estructuras muy complejas independientemente de la escala a la cual lo observemos.

Infinitud.

Se consideran infinitos ya que a medida que aumentamos la precisión del instrumento de medición observamos que el fractal aumenta en longitud o perímetro.

Autosimilitud en algunos casos.

Existen fractales plenamente autosimilares de manera que el todo está formado por pequeños fragmentos parecidos al todo.

Normalmente un fractal se construye mediante una fórmula o función que se va iterando un número arbitrario de veces. Aunque otra forma de lograrlo es mediante la aplicación de técnicas de recursividad. Con estos dos métodos es como solemos conseguir la autosimilitud de los fractales, ya que aplicamos la misma función a diferentes niveles.

Tan importante es la elección de la formula como la elección del método de coloreado de los resultados. En relación a esto, existen multitud de técnicas de coloreado como pueden ser:

Coloreado mediante el algoritmo de tiempo de escape.

Coloreado por convergencia a soluciones de una ecuación.

Cualquier otro que puedas imaginar.

Fractal de Newton

El fractal de Newton es una curiosa creación basado en la aplicación del método de Newton para la resolución de sistemas de ecuaciones no lineales. El algoritmo es eficiente para encontrar aproximaciones de los ceros o raíces de una función real. También puede ser usado para encontrar el máximo o mínimo de una función, encontrando los ceros de su primera derivada.

La idea de este método es la siguiente: se comienza con un valor razonablemente cercano al cero (denominado punto de arranque), entonces se reemplaza la función que estamos tratando por la recta tangente en ese valor, se iguala a cero y se despeja (fácilmente, por ser una ecuación lineal). Este cero será, generalmente, una aproximación mejor a la raíz de la función. Luego, se aplican tantas iteraciones como se deseen hasta que el método de una solución adecuada. Cabe destacar que es posible que el método diverja en determinadas circunstancias que pueden depender de la elección del punto inicial.

Además es responsabilidad nuestra la elección de un buen test de parada, aunque dicho test podría basarse simplemente en el número de iteraciones realizadas. Partiendo de este método, y dado que es capaz de aproximarse tanto a soluciones reales como a complejas, podríamos ingeniárnoslas para que dada una función se coloreasen de forma distinta las soluciones a las que el algoritmo va convergiendo. En pocas palabras: seleccionamos una región del plano complejo y vamos ejecutando el método de Newton, para una función F dada, en un punto elegido de la región. Dependiendo de a qué solución converja el método pintamos ese punto de un color u otro.

NÚMEROS IMAGINARIOS

NÚMEROS IMAGINARIOS

Todo número imaginario puede ser escrito como donde es un número real e es la unidad imaginaria, con la propiedad puesto entonces:que es un número real.

Cada número complejo puede ser escrito unívoca mente como una suma de un número real y un número imaginario, de esta forma:

Al número imaginario i se le denomina también constante imaginaria.

Del mismo modo, partiendo de:

La raíz cuadrada de cualquier número real negativo, da por resultado un número imaginario.

Estos números extienden el conjunto de los números reales al conjunto de los números complejos .

NÚMEROS IRRACIONALES

NÚMEROS IRRACIONALES

Un número irracional es un número que no se puede escribir en fracción - el decimal sigue para siempre sin repetirse.

Ejemplo: Pi es un número irracional. El valor de Pi es

3.1415926535897932384626433832795 (y más...)

Los decimales no siguen ningún patrón, y no se puede escribir ninguna fracción que tenga el valor Pi.

Números como 22/7 = 3.1428571428571... Se acercan pero no son correctos.

Se llama irracional porque no se puede escribir en forma de razón (o fracción)

Entre las propiedades de la suma y resta están:

Propiedad interna.- según la cual al sumar dos números racionales, el resultado siempre será otro número racional, aunque este resultado puede ser reducido a su mínima expresión si el caso lo necesitara.

Propiedad asociativa.- se dice que si se agrupa los diferentes sumandos racionales, el resultado no cambia y seguirá siendo un número racional.

Propiedad conmutativa.- donde en la operación, si el orden de los sumando varía, el resultado no cambia

NÚMEROS ENTEROS Y RACIONALES

NÚMEROS ENTEROS Y RACIONALES

La representación. A nivel de la representación, si bien tanto los enteros como los racionales admiten una representación decimal  y en ese sentido encontramos semejanzas, se presenta una gran diferencia cuando a los racionales los representamos como fracciones.

Un número entero se representa por: Uno o varios dígitos que van del cero al nueve, además el número posee un signo que en caso de ser positivos omite. Por ejemplo el número siete se representa como 7 el dos mil doce como 2012 y el menos treinta y siete 5 como 37. Esa representación se puede tomar ya sea como un paquete indiferenciado o como el resultado de una operación que involucra potencias positivas o nulas de diez interpretando siempre que 100.

Un número racional se representa por: Un par de enteros uno de los cuales se llama numerador y otro –que no puede ser cero– que se llama denominador. = 1 y que 101 = 10.

NÚMEROS ENTEROS Y NATURALES

NÚMEROS ENTEROS Y NATURALES

Los conjuntos de los números naturales y enteros son los más próximos a la realidad humana inmediata, los que se usan en las operaciones sencillas de suma, resta y multiplicación. En esencia, los números naturales se emplean para contar los objetos de un conjunto, mientras que los enteros (que son los naturales más el cero y los números negativos) resultan intuitivamente de las operaciones de sustracción realizadas con los naturales.

PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS NATURALES

PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS NATURALES

Los números naturales poseen una serie de propiedades:

Los números naturales están contenidos en un conjunto de forma ordenada, con lo cual, estos números tienen una relación en cuanto al valor de cada cifra se refiere, de tal forma que, siendo a el número primero más pequeño y b, otro de mayor valor se cumple que: a≤b. Esta relación se cumple solamente si existe otro número natural c tal que: a+c=b.

El conjunto de los números naturales tiene un elemento mínimo, de lo cual se deduce que no es un conjunto vacío, y por tanto, está totalmente ordenado, puesto que siempre existe un número natural que cumple la relación de a≤b. En conclusión:

a) Para cualquier elemento a de un conjunto A existe otro elemento b en A tal que a<b

b) Cualquier subconjunto no vacío de A posee un elemento mínimo.

Luego encontramos otras propiedades referidas a la adición y multiplicación:

a) Operación interna: La suma de dos números naturales es siempre otro número natural

b) Existencia del elemento neutro: Un número natural tal que al ser sumado o multiplicado a otro número natural da ese mismo número.

c) Propiedad conmutativa: El orden de los sumandos no altera el resultado.

SISTEMAS NÚMERICOS

SISTEMAS NUMERICOS

LOS SISTEMAS NUMÉRICOS EN LA ANTIGUEDAD

Aunque se carece de información fidedigna acerca de la forma como el hombre primitivo empezó a valerse de un sistema numérico, tuvo muchas razones y situaciones cotidianas que lo impulsaron a tratar de cuantificar todo lo que le rodeaba. En su etapa sedentaria se vio forzado a emplear algún método de conteo, ya fuera para saber cuántas cabezas de ganado u ovejas poseía; como también para conocer el número de armas que tenía, o para cuantificar la extensión de los terrenos sembrados o conquistados.

SISTEMAS DE NUMERACIÓN ADITIVOS.- Este sistema acumula los símbolos de todas las cifras hasta completar el número deseado, una de sus características es que los símbolos se pueden colocar en cualquier posición u orden, ya fuera de izquierda a derecha, derecha a izquierda, arriba hacia abajo, un ejemplo clásico de este sistema es el egipcio, el romano, el griego.

SISTEMAS DE NUMERACIÓN POSICIONALES.- Es el mejor y más desarrollado sistema inventado por las civilizaciones antiguas, en ellos la posición de las cifras indica la potencia de la base que le corresponde. Solamente tres culturas lograron implementar este sistema, la babilónica, la hindú y la maya, estas dos ultimas lograron innovar una nueva cifra de trabajo, el valor posicional del cero.

SISTEMAS DE NUMERACIÓN AMERICANOS.-

En el continente americano descollaron dos grandes civilizaciones localizadas en América del norte y central, las culturas Azteca y Maya. Fueron cultores del estudio de la astronomía, realizando grandes y precisos cálculos de la posición del sol y los astros, en las matemáticas los Mayas dejaron un legado de conocimiento que solamente se conoció con las exploraciones arqueológicas adelantadas en el siglo XX.

SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL.-

Leonardo de Pisa fue uno de los primeros en introducir este nuevo sistema de numeración en Europa hacia el siglo VIII d. C.,

SISTEMA NUMÉRICO DECIMAL INDO-ARÁBIGO24

La numeración hace parte de la Aritmética para expresar de manera hablada y escrita los números, el número es una abstracción para describir la cantidad de un conjunto. Las cifras o guarismos son los signos que se emplean en un sistema para representar los números, las cifras empleadas son llamadas arábigas y están compuestas por diez cifras, desde el cero (0) que se le llama cifra no significativa y a las demás cifras significativas, estos números han evolucionado a través de los siglos.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

SISTEMA NUMÉRICO DECIMAL ACTUAL

Las reglas y convenciones que permiten expresar y escribir todos los números, constituye un sistema de numeración, se trata de un sistema decimal de base diez, en que cada cifra tiene un valor que depende del lugar que ocupa, o sea, que cada unidad de un determinado orden derecha a izquierda) representa un valor diez veces mayor que cada unidad del orden inmediatamente anterior situado a la derecha.

Lo mismo se aplica para las cifras decimales, se escriben estas a la derecha de las unidades simples y se separan de estas con una coma, de esta manera se constituyen ordenes sucesivos donde cada cifra representa un valor diez veces menor que cada unidad del orden inmediatamente anterior situado a la izquierda

EL ORIGEN DE LOS NÚMEROS

EL ORIGEN DE LOS NÚMEROS

En este trabajo se presenta a nivel muy general las diferentes formas de contar que el hombre ha inventado en su desarrollo cultural, desde los inicios rudimentarios de las diversas civilizaciones hasta llegar a nuestro actual sistema decimal. Cada cultural históricamente ha dejado un legado para la posteridad, que los científicos a través de sus investigaciones fueron descubriendo y comprendiendo sus metodologías para operar matemáticamente. Se desea resaltar particularmente los rudimentos operacionales a lo largo de la historia y que hacen parte del desarrollo del homo sapiens.

ORIGEN DE LOS NÚMEROS

Antes de existir el lenguaje escrito, el hombre primitivo se comunicaba con sus semejantes gesticulando palabras o sonidos, este medio de lenguaje audible se fue perfeccionando al cabo de miles de años de su continuo uso, hasta llegar a la palabra hablada. Cuando éste deseaba recordar un hecho o transmitir un acontecimiento a sus congéneres, les comunicaba sus ideas por medio de la pictografía. Esta consistía en representar por medio de objetos lo que se deseaba expresar ayudado del dibujo o la pintura, de esta manera el hombre inventó su primera forma de comunicación no hablada, la escritura pictográfica.

PRIMEROS INICIOS DE LA ESCRITURA

Hace unos 6000 años a.c. los fenicios, sumerios y babilonios registraban sus hechos y acontecimientos por medio de figuras dibujadas en arcilla húmeda, este tipo de escritura se llamó cuneiforme, o en forma de cuña, porque cada trazo del escrito se hacía oprimiendo sobre tablillas de arcilla que posteriormente secaban al sol o la cocían. El trazo representaba el objeto dibujado, posteriormente lo convirtió en un símbolo relacionado con el mismo objeto, esta etapa de la escritura que el hombre desarrolló, se le llamó ideográfica.

Los egipcios emplearon una escritura ideográfica que se fue perfeccionando con el tiempo y recibió el nombre de jeroglífica, este modo de escritura les servía para realizar sus inscripciones en los templos, tumbas y monumentos.

La escritura ideográfica egipcia tiene dos evoluciones perfectamente definidas, la primera parte de la evolución de la escritura ideográfica es convertirse en jeroglífica para acabar en una escritura cursiva con sus dos variedades, la hierática y demótica. La escritura hierática era una especie de taquigrafía abreviada de los jeroglíficos, muy usada entre los sacerdotes para expresarse rápidamente al no utilizarse el dibujo, cada jeroglífico tenía su correspondiente abreviatura hierática, dominando el elemento fonético y escribiéndose de derecha a izquierda.

La demótica o popular se componía de signos tomados de la hierática, con exclusión casi completa de los jeroglíficos, conservándose casi completamente los símbolos cuña de sus caracteres compuestos por ángulos y puntas. La escritura jeroglífica se utilizaba para las inscripciones monumentales, donde solamente los sacerdotes y los escribas conocían su significado. En esta escritura jeroglífica se encuentran unos 24 signos alfabéticos equivalentes a letras sueltas o palabras completas separadas de una sola consonante, 136 signos silábicos, pero al lado de estos se encuentran más de tres mil figuras mucho más complicadas. Los egipcios nunca advirtieron la importancia de su magna invención y no hicieron mucho uso de ella.

La Ley inexplicable por Marcelo Dos Santos (www.mcds.com.ar)

Un niño nació en Hamburgo, Alemania, en 1747. A corta edad demostró un enorme interés en la ciencia y especialmente en la astronomía. A ella se dedicó de adulto. Llegó a ser un gran astrónomo, pero su moral personal dejaba bastante que desear. Johann Elert Bode era uno de los científicos que "roban" ideas o descubrimientos de otros y los publican como efectuados por ellos. La historia de la ciencia está llena de ejemplos similares, pero la verdad siempre triunfa. Como fuese, Bode llegó en sus tiempos a ser el astrónomo más importante de Alemania. Se lo admitió como miembro en la Academia de Ciencias de Berlín y fue nombrado director del observatorio de esa ciudad. Y tenía cómo. Johann Elert Bode Entre los grandes logros de Bode se encuentran el haber elaborado la primera efemérides astronómica en alemán (Astronomisches Jahrbuch oder Ephemeris), que siguió publicando hasta su muerte. A los 27 años, Bode comenzó a interesarse por los cúmulos nebulares y las nebulosas, y pudo observar a 20 de ellos entre 1774 y 1775. Diecisiete de los veinte habían sido ya catalogados por otros astrónomos, pero Bode descubrió personalmente a M81 y M82 el 31 de diciembre de 1774 y a M54 el 3 de febrero de 1775. Su tendencia a la soberbia, a adueñarse de logros ajenos y a buscar el reconocimiento de los demás a como diera lugar, lo llevó a publicar en 1777 su —literalmente— titulada obra "Catálogo Completo de Cúmulos y Nebulosas Estelares jamás observadas hasta el momento". Tan pomposo título, viniendo de Bode, tenía que ocultar alguna trampa. En efecto: de los 75 objetos de su catálogo, 25 no existen. Lo que sucedió es que Bode "tomó prestadas" algunas nebulosas de todos los catálogos que se pusieron a su alcance entre 1771 y 1777, incluyendo las efemérides de Hevelius y su catálogo, donde el autor señalaba que muchos de los objetos allí descriptos aún esperaban confirmación. Como el lector imaginará, Bode no hizo aclaración alguna en el suyo. Pero, aunque como persona dejase bastante que desear, como astrónomo era soberbio. Durante los años siguientes Bode descubrió —esta vez de verdad— M92 el 31 de diciembre de 1777 (el día final del año parece que le traía suerte) y M64 en 1779. Es cierto que Piggott la había visto 12 días antes, pero se ha demostrado sin asomo de duda que Bode no podía haberlo sabido. En este caso, al menos, obró de buena fe. A lo largo del mismo año Bode descubrió los cúmulos NGC2548 (M48) e IC4665 en la constelación del Ofiuco. Para completar su gran año, descubrió el cometa que hoy lleva su nombre, C1779A1Bode. M54, descubierta por Bode Nosotros conocemos a Bode de otra parte: no fue otro que Bode quien recomendó a William Herschel cambiarle a su recién descubierto planeta el ridículo nombre de Georgium Sidus ("Planeta Jorge", por todos los cielos) por el de Urano, siguiendo el orden genealógico de la mitología griega (Júpiter hijo de Saturno hijo de Urano). Sin embargo, él mismo no era ningún maestro con los nombres: en su atlas de 1801, Bode bautizó a varias constelaciones con nombre tales como "El Gato" (éste vaya y pase, porque si existen "Leo" y las "Osas" podemos tolerar un gato. Pero, no conforme con eso, comenzó a llamar sus constelaciones... "Aparato Químico" (?), "Globo Aerostático", "Oficina Tipográfica" (no, no, aunque no lo crea, Bode no bebía antes de efectuar sus observaciones)... El colmo de los colmos (justo él, que le había dicho que nombrar a un planeta "Jorge" como el rey era una payasada) llegó cuando le puso a una constelación el nombre de "Los Honores de Federico" en honor a su emperador (de Alemania, no de la constelación). En fin... M81, también descubierta por Bode Pero lo que nos interesa de la carrera de Johann Bode llega ahora, cuando publica en 1768 otro de sus libros, que lleva el "humilde" título de "Manual de Instrucciones para el Aprendizaje de los Cielos Estrellados". Parece que el que lo leyera aprendería los cielos de inmediato... Es este volumen en que Bode publica la ley que lo ha hecho famoso. La mal llamada —como veremos— Ley de Bode expresa de una manera fácil la distancia de los distintos planetas al Sol. La formulación clásica de la Ley de Bode dice así: donde a es la distancia buscada expresada en unidades astronómicas (UA, distancia media de la Tierra al Sol, 147.597 x 106 km) y n es un número gobernado por la secuencia 0   3   6   12   24   48   96   192   384   768... Como se ve, cada número es el doble del anterior. Si, siguiendo la fórmula de la ley, sumamos 4 a cada número: 4  7  10  16  28  52  100  196  388  772... y luego los dividimos por 10, tendremos: 0,4   0,7   1   1,6    2,8   5,2    10    19,6   38,8   77,2... que en verdad define con increíble precisión la distancia de cada uno de los planetas al Sol expresada en UA. La formulación moderna de la Ley de Bode, más precisa, dice: a = 0,4 + 0,3 k siendo a la distancia promedio en UA, y k un número de la serie de potencias de 2 más el 0: 0 1 2 4 8 16 32 64 128 256... La tabla siguiente muestra la asombrosa concordancia de la Ley de Bode con la realidad de nuestro sistema solar. Por supuesto que Plutón no se había descubierto a esas alturas, por lo que lo hemos agregado nosotros: Planeta n Bode Realidad Mercurio - 0,4 0,39 Venus 0 0,7 0,72 Tierra 1 1 1 Marte 2 1,6 1,52 -- 3 2,8 2,8 Júpiter 4 5,2 5,2 Saturno 5 10 9,54 Urano 6 19,6 19,2 Neptuno - -- 30,1 Plutón 7 38,8 39,4 Para los conocimientos de la época en que Bode publicó "su" ley (ya veremos que las comillas pretenden dar un tono irónico al posesivo), la tabla terminaba en Saturno, y todo ajustaba perfectamente... excepto que no había ningún planeta entre Marte y Júpiter. Varios astrónomos comenzaron, entonces, a dudar de su validez. Sin embargo, como hemos visto en el otro artículo, Herschel descubre a Urano en 1781, y... ¡encaja perfectamente en la Ley de Bode! Esto dio a la norma nuevos visos de credibilidad, y a su "autor" un aire de respetabilidad y una resonancia mundial que nunca hubiese logrado de haber seguido limitándose a descubrir una o dos nuevas galaxias cada año... Pero la ley seguía adoleciendo de un defecto: el planeta perdido entre Marte y Júpiter, el que correspondía a la posición de 2,8 UA (n = 3). ¿Dónde podía estar? ¿Es que Bode había publicado con bombos y platillos un hecho puramente accidental? Por segunda vez otro astrónomo vino en ayuda de Johann: en 1801, Giusseppe Piazzi descubrió a Ceres, exactamente a 2,8 UA, en el sitio que la ley predecía. Fue el primero de la serie de casi 10.000 asteroides que ocupan el espacio reservado para el planeta n = 3. Al irse descubriendo otros en aquellos días, se pensó que eran los remanentes dispersos de un planeta que había estallado. Hoy se sabe que los asteroides son en realidad los planetesimales que estaban destinados a fundirse y formar el planeta n = 3, pero que las fuerzas de marea gravitacionales de Marte y Júpiter (especialmente este último, monstruosamente grande) impidieron que lo lograsen. Giusseppe Piazzi, descubridor del primer asteroide Bode murió contento en 1826, satisfecho por el hecho de que Dios y la mecánica celeste se preocupaban por concordar enteramente con la "ley" que él con tanta precisión había "formulado"... Pero la desgracia cayó sobre el fantasma de Bode cuando su cuerpo llevaba ya 20 años en la tumba: en 1846 Johann Galle ordenó a Heinrich d´Arrest que observase el cielo en determinado sector donde el francés Le Verrier predecía que se encontraría un nuevo planeta (la historia completa aquí). Y así fue. Se lo bautizó Neptuno, pero... ¡Uuupppsssssss...! ¡El nuevo planeta se evadía miserablemente de la Ley de Bode! ¡Se encontraba a una distancia de 30 UA, cuando la regla decía que debía hallarse a casi 40! ¡Horror y vilipendio, destierro y excomunión! Si Bode hubiese podido, habría resucitado y movido a Neptuno de su órbita para colocarlo en el lugar correcto. Nada de eso ocurrió, sin embargo. Neptuno siguió girando en el sitio donde lo había hecho por miles de millones de años y todos pensaron que la Ley de Bode seguía siendo válida... pero sólo hasta Urano. Las sorpresas no cesaron con el descubrimiento de Le Verrier: en 1930, Clyde Tombaugh descubrió el planeta Plutón, y lo primero que hicieron los astrónomos de todo el mundo fue calcular su distancia y observar si encajaba en la Ley de Bodé. La decepción fue enorme. Empero, dando una mirada más minuciosa, se ve claramente que, así como Neptuno se encuentra en un sitio donde no debiese haber nada, Plutón ocupa (casi con precisión: 39,4 cuando debiera haber estado a 38,8) el sitio que la ley predecía para Neptuno. ¿Qué ocurre aquí? ¿Cómo es posible que la Ley de Bode se cumpliese perfectamente hasta Urano (incluyendo el inexistente quinto planeta y sus asteroides) y de allí en más comenzase a fallar? ¿Por qué Plutón ocupa el lugar que debiese haber ocupado Neptuno? El siguiente número en la serie de Bode es 77,2 UA. Muchos astrónomos creen que existe un décimo planeta (no el asteroide Sedna, sino uno enorme, que parece estar provocando fluctuaciones en la órbita de Plutón). Si todo resulta como se piensa, esos astrónomos saben a qué distancia buscar el misterioso Planeta X... Pero la verdadera pregunta crucial es: ¿cuál es la base teórica que sustenta a la Ley de Bode? La respuesta puede expresarse en una sola palabra: ninguna. La Ley de Bode es completamente empírica: un astrónomo —con las distancias de los planetas al Sol escritas en una tabla frente a sí— se puso a jugar con series numéricas y vio que una serie en particular se adaptaba a la estructura del sistema. La Ley de Bode no es sorprendente, teniendo en cuenta las teorías sobre la formación del Sistema Solar, en el sentido de que denota una burda serie geométrica de algún tipo. Su forma final, sin embargo, tan perfecta en apariencia, no es más que una increíble coincidencia. Pero... Da la casualidad de que el astrónomo que la descubrió no fue Johann Bode. Se trató de un descubrimiento del alemán Johann Daniel Titius, que la encontró —como hemos dicho, jugando con los números— en 1766. Hombre confiado, se la comentó a Bode, quien en 1772, siguiendo su costumbre habitual, la publicó como suya, sin siquiera mencionar el nombre del descubridor original. Es por esto que, aunque algunos han dado en rebautizarla "Ley de Titius-Bode", es más correcta la denominación de "Ley de Titius". A secas. La víctima del desfalco: Johann Daniel Titius